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Arithmetic SequencesEditar

Una progresión arithmética, algunas veces conocida como una Secuencia Arithmética, es una progresión en donde sus términos estan separados por la misma cantidad.

La separación se conoce como diferencia común y es denotado por d.

Una progresión puede estar definida de dos formas, explicitamente y impicitamente.

Una expresion implicita nos da el resultado en relación con los términos anteriores gives the result in relation to the previous term.

Implicitamente: U_n = U_{n-1} + 2 donde  n \in \mathbb{N}

Una expresión explicita nos da el resultado en relación con la posición (n) del término en la progresión.

Explicitamente: U_n = 2n - 1 donde  n \in \mathbb{N}

Está claro que una progresión arithmética será de la forma:

a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+...

Por lo que la fórmula para el n-ésimo término sería:

U_n = U_1 + (n-1)d

Y d se puede definir por:

d = U_{n+1} - U_n


Arithmetic SeriesEditar

Una serie arithmetica consiste en una suma de términos que se encuantran separados por la misma canditad. Se puede ver como la suma de los términos de una progresión arithmetica.

Se puede representar por:

\sum^{r}_{1} U_{n}

Donde U_n representa el término n-ésimo de la progresión arithmetica que somo ya fue visto se puede representar por:

U_n = U_1 + (n-1)d donde d es la diferencia común entre los términos


La suma desde 1 hasta el n-ésimo término se puede representar por:

No se pudo entender (función desconocida\begin): \begin{split} \sum^{r}_{1} U_{n} & = U_{1} + (U_{1} + d) + (U_{1} + 2d) + ... + (U_{1} + (n-2)d) + (U_{1} + (n-1)d) \\ \sum^{r}_{1} U_{n} & = (U_{1} + (n-1)d) + (U_{1} + (n-2)d) + ... + (U_{1} + 2d) + (U_{1} + d) + U_{1} \end{split}


Si se suman ambos grupos queda:

2\sum^{r}_{1} U_{n} = (2U _{1} + (n-1)d) + (2U _{1} + (n-1)d) + (2U _{1} + (n-1)d) + ... + (2U _{1} + (n-1)d) + (2U _{1} + (n-1)d)

Se obserba que serían se encuentrarían n cantidad de (2U _{1} + (n-1)d)

Por lo que:

2\sum^{r}_{1} U_{n} = n(2U _{1} + (n-1)d)

Dividiendo ambos lados por dos se obtiene la suma de la progresión arithmética.

\sum^{r}_{1} U_{n} = \frac{n}{2}(2U _{1} + (n-1)d)

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